বীজগাণিতিক সূত্রাবলিঃ
বীজগাণিতিক প্রতিক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিধান্তকে বীজগাণিতিক সুত্র বলা হয় ।
সুত্র ১ । 
সুত্র ২ । 
এই দুটি বর্গের সুত্র থেকে কিছু অনুসিধান্ত প্রমাণ করা যায় যেমনঃ
১ । 
২ । 
অথবা 
অথবা
সুত্র এক ও দুই থেকে খুব সহজেই এই অনুসিধান্তগুলো প্রমাণ করা যায়
সুত্র ১ থেকে পাই
বা, 
আবার প্রথম সুত্র থেকে পাই
বা, 
বা, 
( প্রথম সুত্র থেকে পাই
আবার
অনুসিধান্ত ৩ । 
প্রমাণঃ
সুত্র ১ ও সুত্র ২ যোগ করি তাহলে
বা, 
বা, 
অনুসিধান্ত ৪ । 
সুত্র ১ ও সুত্র ২ বিয়োগ করে পাই ।
বা, 
বা, 
ঘন সংবলিত সূত্রাবলিঃ
সুত্র ১ । 
সুত্র ২ । 
সুত্র ১ এর প্রমাণঃ
সুত্র ২ এর প্রমাণঃ
অনুসিধান্ত 
প্রমাণঃ সুত্র ১ থেকে
অনুরূপভাবে 
উৎপাদকে বিশ্লেষণঃ
কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয় ।
উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশলঃ
ক) কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা প্রথমে বের করে নিতে হয় । যেমনঃ 
খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে । যেমন, 
একটি রাশি
একটি রাশি
একে বিশ্লেষণ করতে প্রথমে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করতে হবে ।
গ) একটি রাশিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং 
সুত্র প্রয়োগ করে ।
সুত্র প্রয়োগ করে ।
ঘ) 
সূত্রটি ব্যবহার করে ।
সূত্রটি ব্যবহার করে ।
এপদ্ধতিতে 
আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি পূর্ণসংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab=1 হয় । এজন্য q এর দুটি সচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয় । q>0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত হবে এবং q<0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে ।
আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি পূর্ণসংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab=1 হয় । এজন্য q এর দুটি সচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয় । q>0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত হবে এবং q<0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে ।
ঙ) 
আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতি ।
আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতি । 
হবে
যদি 
অর্থাৎ 
এবং 
হয় ।
এবং হয় ।
সুতরাং 
এবং 
এবং
অথএব আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac অর্থাৎ 
এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুনফল্কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয় ।
আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac অর্থাৎ এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুনফল্কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয় ।
জ) ভগ্নাংশযুক্ত রাশির উৎপাদক
ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder, , Theorem):
কে 
দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় 
এবং ভাগশেষ হয় 
আমরা জানি ভাজ্য = ভাজক 
ভাগফল + ভাগশেষ
ভাগফল + ভাগশেষ
এখন যদি আমরা ভাজ্যকে 
, ভাগফলকে 
, ভাগশেষকে r ও ভাজককে 
দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সুত্র থেকে পাই,
, ভাগফলকে , ভাগশেষকে r ও ভাজককে দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সুত্র থেকে পাই, 
এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য ।
উভয়পক্ষে x=a বসিয়ে পাই ,
সুতরাং 
অথএব, কে দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 
. এই সুত্র ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত । অর্থাৎ ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী কে আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সুত্রই হল ভাগ শেষ উপপাদ্য । ভাজক বহুপদী 
আকারের বহুপদী এর মাত্রা 1, ভাজক যদি ভাজ্যের উৎপাদক হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে শুন্য । আর যদি উৎপাদক না হয়, তাহলে ভাগশেষ থাকবে এবং তা হবে অশূন্য কোনো সংখ্যা ।
কে দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় . এই সুত্র ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত । অর্থাৎ ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী কে আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সুত্রই হল ভাগ শেষ উপপাদ্য । ভাজক বহুপদী আকারের বহুপদী এর মাত্রা 1, ভাজক যদি ভাজ্যের উৎপাদক হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে শুন্য । আর যদি উৎপাদক না হয়, তাহলে ভাগশেষ থাকবে এবং তা হবে অশূন্য কোনো সংখ্যা ।
প্রতিজ্ঞাঃ যদি এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং 
হয়, তবে কে 
দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 
এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং হয়, তবে কে দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয়
অনুসিধান্তঃ 
এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি 
হয় ।
এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি হয় ।বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সুত্র গঠন ও প্রয়োগঃ
আগের অধ্যায়গুলোতে আমরা যে সুত্র অনুসিধান্ত স্বীকার্য নিয়ে আলোচনা করেছি তাঁর প্রয়োগ করে আমরা এই অধ্যায় এ বিভিন্ন রকম অঙ্ক করব ।
সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিঃ
(ক) প্রথমেই সতর্কতার সাথে সমস্যাটি পর্যবেক্ষণ করে এবং মনেযোগ সহকারে পড়ে কোনগুলো অজ্ঞাত এবং কী নির্ণয় করতে হবে তা চিহ্নিত করতে হবে ।
খ) অজ্ঞাত রাশিগুলোর একটিকে যেকোনো চলক ( ধরি x ) দ্বারা সূচিত করতে হবে অতঃপর সমস্যাটি ভালভাবে অনুধাবন করে অন্যান্য অজ্ঞাত রাশিগুলোকে একই চলক x এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে ।
গ) সমস্যাকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা প্রকাশ করতে হবে ।
ঘ) প্রদত্ত শর্ত ব্যবহার করে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশগুলোকে একত্রে একটি সমীকরণে পরকাশ করতে হবে ।
ঙ) সমীকরণটি সমাধান করে অজ্ঞাত রাশি x এর মান নির্ণয় করতে হবে ।
বাস্তব সমস্যা সমাধানে বিভিন্ন সুত্র ব্যবহার করা হয় তা নিচে আলোচনা করা হলোঃ
১) দেয় বা প্রাপ্য বিষয়কঃ দেয় বা প্রাপ্য, A=qn টাকা
যেখানে, q = জনপ্রতি দেয় বা প্রাপ্য টাকার পরিমাণ
n = লোকের সংখ্যা
২) সময় বা কাজ বিষয়কঃ
কয়েকজন লোক একটি কাজ সম্পন্ন করলে কাজের পরিমাণ, 
যেখানে, q = প্রত্যেক একক সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে,
n = কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা
x = কাজের মোট সময়
W = n জনে x সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে ।
৩) সময় ও দূরত্ব বিষয়কঃ
নির্দিষ্ট সময়ে দূরত্ব, d = vt
যেখানে, v = প্রতি ঘণ্টায় গতিবেগ
t = মোট সময়
৪) নল ও চৌবাচ্চা বিষয়কঃ
নির্দিষ্ট সময়ে চউবাচ্চার পানির পরিমাণ 
যেখানে 
নলের মুখ খুলে দেওয়ার সময় চৌবাচ্চায় জমা পানির পরিমাণ
নলের মুখ খুলে দেওয়ার সময় চৌবাচ্চায় জমা পানির পরিমাণ
q = প্রতি একক সময়ে নল দিয়ে যে পানি প্রবেশ করে অথবা বের হয় ।
t = অতিক্রান্ত সময়
Q(t)= t সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ ( পানি প্রবেশ হওয়ার শর্তে "+" এবং পানি বের হওয়ার শর্তে " - " চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে ) ।
৫) শতকরা অংশ বিষয়কঃ
p = br
যেখানে, b = মোট রাশি
r = শতকরা ভগ্নাংশ 
%
%
p = শতকরা অংশ = b এর s%
৬) লাভ- ক্ষতি বিষয়কঃ
লাভের ক্ষেত্রে S=C(I+r)
এবং ক্ষতির ক্ষেত্রে, S=C(I-r)
যেখানে, S(টাকা ) = বিক্রয়মূল্য
C(টাকা) = ক্রয়মূল্য
I = লাভ বা মুনাফা
r = লাভ বা ক্ষতির হার
৭) বিনিয়োগ- মুনাফা বিষয়কঃ
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
I = Pnr টাকা
A = P+I=P+Pnr= P(1+nr) টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
যেখানে, I= n সময় পরে মুনাফা
n = নির্দিষ্ট সময়
P = মূলধন
r = একক সময়ে একক মূলধনের মুনাফা
A = n সময় পরে মুনাফাসহ মূলধন ।
কোন মন্তব্য নেই:
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন