বাস্তব সংখ্যা | নবম-দশম শ্রেনী

বাস্তব সংখ্যা (Real Number ) :

সকল মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে । যেমন,   ইত্যাদি ।

স্বাভাবিক সংখ্যা ( Natural Number ) :

 ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে । স্বাভাবিক সংখ্যা দুই প্রকারঃ 

১) মৌলিক সংখাঃ যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা এক অথবা সে নিজে বাদে র অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না যদি ভাগ করা হয় তাহলে ভাগফল একটি ভাগ্নাংশ সংখ্যা হয় তাঁকে মৌলিক সংখ্যা বলে । যেমন, 

২) যৌগিক সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যার কয়েকটি ভাগফল রয়েছে যারা পূর্ণ সংখ্যা তাঁকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে ।

( বি দ্রঃ শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে )

সেট ফাংশন | নবম-দশম শ্রেনী

সেট ( Set):

জগতের সু সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে । যেমন, বাংলা , ইংরেজি ও গণিতের বিষয়ে তিনটি পাঠ্যবই এর সেট । প্রথম দশটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ইত্যাদি । সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর যেমন A,B,C ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয় । যেমন 2,4,6 সংখ্যা তিনটির সেট A= { 2,4,6 } . সেটের উপাদান গুলোকে দ্বিতীয় বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ করা হয় । 

উপাদান(Element): কোনো সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদসসকে সেটের উপাদান বলা হয় । যেমন B={ a, b } এখানে a ও b হলো B সেটের উপাদান । উপাদান প্রকাশের চিহ্ন 

অথএব aB এবং পড়া হয় a, B এর সদস্য ( a belongs to B )

বীজগাণিতিক রাশি সূত্রাবলী

বীজগাণিতিক রাশিঃ

প্রক্রিয়া চিহ্ন সংখ্যানির্দেশক অক্ষর প্রতিক এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলে । যেমন 2a+3b-4c একটি বীজগাণিতিক রাশি ।

একটি বীজগাণিতিক রাশি তে ধনাত্মক, ঋণাত্ম্‌ গুণ, ভা্‌ সমান চিহ্ন, ইত্যাদি থাকে এবং চলক ও ধ্রুবক থাকে ।

চলক(Variables): বীজগাণিতিক রাশিতে যে উপাদান গুলোর মান নির্দিষ্ট না মান এর পরিবর্তন হয় যেমন উপরের উদাহরনে a , b ও c এদের মানের পরিবতন হয় । তাই এদের চলক বলে । 

ধ্রুবক (Constant) : বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক এদের মান নির্দিষ্ট ।

সূচক লগারিদম | নবম-দশম শ্রেনী

সূচক (, Exponents, or: Indices):

সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে সূচকীয় রাশি বলা হয় । 

a যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে, n সংখ্যক a এর ক্রমিক গুণ অর্থাৎ  কে  আকারে লেখা হয় যেখানে n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা । 

এখানে  সূচক বা ঘাত 

          ভিত্তি 

আবার বিপরীতক্রমে 

একচলক বিশিষ্ট সমীকরণ | নবম-দশম শ্রেনী

চলকঃ

আমরা জানি, x+3=5 একটি সমীকরণ । এটি সমাধান করতে হলে আমরা অজ্ঞাত রাশি x এর মান বের করি । এখানে অজ্ঞাত রাশি x একটি চলক । আবার x+a=5 সমীকরণটি সমাধান করতে হলে আমরা x এর মান নির্ণয় করি a এর মান নয় । এখানে x কে চলক ও a কে ধুরবক হিসেবে ধরা হয় । এক্ষেত্রে x এর মান a এর মাধ্যমে পাওয়া যাবে । 

এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণঃ যে সমিকরনে একটি মাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে তাঁকে এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ বা সরল সমীকরণ বলা হয় । যেমন x+3=5 সমীকরণে x একটি মাত্র চলক তা এটি সরল সমীকরণ বা এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ ।

রেখা কোন ত্রিভূজ | নবম-দশম শ্রেনী

স্থান,তল,রেখা ও বিন্দুর ধারণাঃ

আমাদের চারপাশে বিস্তৃত জগত সীমাহীন । এর বিভিন্ন অংশ জুড়ে রয়েছে ছোট বড় নানা রকম বস্তু । ছোট বড় বস্তু বলতে বালুকণা , কাগজ , বই, চেয়ার, টেবিল,ইট পাথর, বাড়িঘর ইত্যাদি । বিভিন্ন বস্তু স্থানের যে অংশ জুড়ে থাকে সে স্থানটুকুর আকার আকৃতি অবস্থান বৈশিষ্ট্য প্রভৃতি থেকেই জ্যামিতির ধারণা । 

ইউক্লিডের স্বীকার্যঃ

ইউক্লিডের স্বীকার্য গুলো নিম্নরুপঃ

১) যার কোনো অংশ নাই তাই বিন্দু ।

ব্যবহারিক জ্যামিতি | নবম-দশম শ্রেনী

ত্রিভুজ অঙ্কনঃ

প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে । ত্রিভুজ আকার উপাত্ত গুলো নিম্নে দেওয়া হলোঃ

১) তিনটি বাহু

২) দুইটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ।

৩) দুইটি কোণ ও তাদের সংলগ্ন বাহু 

৪) দুটি কোণ ও একটি বিপরীত বাহু ।

৫) দুইটি বাহু ও তাদের একটির বিপরীত কোণ ।

৬) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহু ।

বৃত্ত | নবম-দশম শ্রেনী

বৃত্ত :

নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্ব বজায় রেখে কোনো বিন্দু যে আবদ্ধ পথ চিত্রিত করে তাই বৃত্ত।

নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্ব বজায় রেখে কোনো বিন্দু যে আবদ্ধ পথ চিত্রিত করে তাই বৃত্ত।

ত্রিকোণমিতির অনুপাত | নবম-দশম শ্রেনী

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণঃ

আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ ভূমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয় । ত্রিভুজের অনুভুমি অবস্থানের জন্য এ নাম সমূহ সার্থক । 

অতিভুজঃ

সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকনের বিপরীত বাহু ।

বিপরীত বাহুঃ 

যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু । 

সন্নিহিত বাহুঃ

যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ । 

সদৃশ সমুনি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাতসমুহের ধ্রুবতাঃ 

দূরত্ব ও উচ্চতা | নবম-দশম শ্রেনী

ভু-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতলঃ

ভুরেখা হচ্ছে ভুমিতলে অবস্থিত জেকন সরলরেখা। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভুমিতলের উপর লম্ব সরলরেখা। ভুমিতলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরছেদি ভু-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দেশ করে জাকে উল্লম্ব তল বলে।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণঃ

ভুতলের উপরের কোন বিন্দু ভুমির সমান্তরাল রেখার সাথে জ্যা কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে, চিত্রে কোণ POB উন্নতি কোণ।

বীজগণিতীয় অনুপাত সমানুপাত | নবম-দশম শ্রেনী

অনুপাতঃ

একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়, এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে । দুইটি রাশি p ও q এর অনুপাতকে  লিখা যায় । 

সমানুপাতঃ

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উতপন্ন হয় । a,b,c,d এরূপ চারটি রাশি হলে 

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরন | নবম-দশম শ্রেনী

সরল সমীকরণঃ

সরল সমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণকে বোঝায় যখন তাদের একত্রে উপস্থাপন করা হয় এবং চলক দুইটি একই বৈশিষ্ট্য এর হয় । আবার এরূপ দুইটি সমীকরণকে একত্রে সরল সমীকরণজোটও বলে । 

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান যোগ্যতাঃ

সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে ধ্রুবপদের অনুপাতগুলো সমান না । 

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধানঃ

সুবিধামত একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করে প্রাপ্ত মান অপর সমীকরণে বসালে এক চলকবিশিষ্ট স্মিকরন পাওয়া যায় । অতঃপর সমীকরণটি সমাধান করে চলক্তির মান পাওয়া যায় । এই মান প্রদত্ত সমীকরণের যে কোনটিতে বসানো জেতে পারে । তবে যেখানে একটি চলককে অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে সেখানে বসালে সমাধান সহজ হয় । এখানে অপর চলকের মান পাওয়া যায় । 

সসীম ধারা | নবম-দশম শ্রেনী

ধারাঃ

কোন অনুক্রমের পদগুলো পরপর '+' চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা পাওয়া যায়।যেমন, 1+3+5+..... একটি ধারা।

সসীম বা সমান্তর ধারা (Finite series ) :

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

যেমনঃ 1+3+5+.....

সসীম ধারার পদ নির্ণয়ঃ

n তম পদ=a+(n-1)d

এখানে, a=প্রথম পদ

         d=সাধারন অন্তর

অনুপাত, সাদৃশ্যতা, প্রতিসমতা | নবম-দশম শ্রেনী

অনুপাত ও সমানুপাতের ধর্মঃ

[ বি দ্রঃ নিচের অনুপাত ও সমানুপাতের ধর্মগুলো মনে রাখতে হবে নিচের ধর্মগুলো মনে না রেখে এই অধ্যায়ের কোনো অঙ্ক না করার পরামর্শ দেওয়া হলো নিচের ধর্মগুলো মনে রাখলে অঙ্কগুলো অনেক সহজ হবে ] 

(i) a : b =x : y এবং c : d = x : y হলে, a : b = c : d

(ii) a : b=b : a হলে , a = b

(iii) a : b = x: y হলে, b : a = y :x ( ব্যস্তকরন )

(iv) a : b = x : y হলে, a : b = b : y (একান্তরকরন ) 

(v) a : b = x : y হলে ad = bc (আড়গুণন )

(vi) a : b=x : y হলে, a+b : b = x+y : y (যোজন )

সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল | নবম-দশম শ্রেনী

সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলঃ

সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে । এই ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য সাধারণত এক একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে বর্গ একক হিসেবে গ্রহন করা হয় । যেমন যে বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য এক সেন্টিমিটার তাঁর ক্ষেত্রফল হবে এক বর্গসেন্টিমিটার । 

পরিমিতি | নবম-দশম শ্রেনী

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

(1) সমকোণী ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রফল X ভুমি X উচ্চতা

(2) সমবাহু ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রফল

(3) সমদ্বিবাহু  ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রফল

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =ab

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 

পরিসংখ্যান | নবম-দশম শ্রেনী

উপাত্তের উপস্থাপনঃ

আমরা জানি গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত । আর উপাত্তসমূহকে সারণিভুক্ত করা হলো উপাত্তের উপস্থাপন ।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Cumulative : , , Frequency ):

 এটি হচ্ছে গণসংখ্যার উপাত্ত গুলোর পর্যায়ক্রমিক যোগফল । যেমন গণসংখ্যা যদি 1,2,3,4,5 হয় ত্তাহলে এর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা হবে 1, 1+2=3, 3+3=6, 4+6=10, 5+10 = 15 অর্থাৎ 1,3,6,10,15 . 

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকঃ

পরিসংখানে ব্যবহৃত চলক দুই প্রকারের হয় । যেমন বিচ্ছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলক ।

বিচ্ছিন্ন চলকঃ যে চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় তা বিচ্ছিন্ন চলক । জনসংখ্যা নির্দেশক উপাত্তে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহৃত হয় । তাই গণসংখ্যামুলক উপ্পাত্তের চলক হচ্ছে বিচ্ছিন্ন চলক ।

অবিচ্ছিন্ন চলকঃ যে সকল চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে তাঁকে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে ।